Moment setrvačnosti pravoúhlého trojúhelníku

Odvodíme si vzorec pro výpočet momentu setrvačnosti pravoúhlého trojúhelníku dle obrázku. Jedná se o speciální případ, kdy trojúhelník leží stranou na ose otáčení. Pro ilustraci ideální začátek, později spočteme moment setrvačnosti trojúhelníku ležící jakkoli daloko od osy či na ose..

Nejprve dosadíme do funkce přímky: z = ky + c

k = -H/B

c = H

a tedy rovnice přímky HB ohraničující oblast je:

z = - H/B . y + H

Definice momentu setrvačnosti:

I_y = ∫∫z² dΩ

kde Ω je oblast, zde trojúhelník 0BH

Moment výpočet momentu setrvačnosti trojúhelníku jednotkové hustoty či hmotnosti 0BH:

I_y = ∫∫z² dΩ =

= ¹/₃ . ∫[₀,^B]dy ∫[₀, ^{-H/B.y + H}] z² dz =

= ¹/_{3  .} ∫[₀,^B] (-H/B . y + H)³ dy =

= H³/3 . ∫[₀,^B] (1 - 3y/B + 3y²/B² - y³/B³)dy =

= H³/3 .[y - 3y²/2B + y³/B² - y⁴/4B³] [₀,^B] =

I_y = BH³/12

kde

[₀,^B], [₀, ^{-H/B.y + H}] .. meze integrálu

Komentáře (0)