Odvození tečny ke kružnici - Thaletova věta
Nedávno jsem potřeboval znát přesnou polohu tečny kružnice kružnice - napojení přímého úseku silnice na kruhový oblouk. Nechtělo se mi to hledat v tabulkách ani rýsovat a odměřit, proto jsem si odvodil jednoduchý vzorec pro vyhledání bodu dotyku přímky a kružnice. Jelikož to je jednoduché odvození a kolikrát se hodí, tak jsem to sem hodil.
Zadání:
Máte zadán bod B[xb,yb] a kružnici k(S;r=R), střed S[xs,ys]. Najděte tečnou přímku vedenou bodem B, která má s kružnicí k bod dotyku T[xT,yT] a odvoďte souřadnice bodu dotyku T. Úhel sevřený osou x a přímkou vedenou body BT je úhel α.
Řešení:
Řešit tento problém lze v geometrii Thaletovou větou či odvozením ze vzorců rovnice přímky a kružnice.
Thaletova věta
říká asi toto: máme kružnici k a úsečku /AB/, jejíž délka je rovna průměru kružnice (/AB/=d=2r) a je vedena středem kružnice (prostě úsečka co půlí kružnici na dvě stejné poloviny). A pokud vedeme z krajních bodů A,B úsečky na kterýkoli bod C na kružnici k (vyjma krajních bodů A,B této úsečky) získáme trojúhelník ABC.Na tomto trojúhelníku je hezké to, že úhel nad průměrem - úsečkou /AB/ (tj. úhel u bodu C) je vždy pravý.
Pro jednoduchost vložíme bod B do počátku soustavy souřadnic x : B[0,0] ≡ 0, kružnice k(S,r=R) bude ležet na ose x tedy S[xs,0].
Větu o pravém úhlu na Thaletově kružnici hned využijeme - potřebujeme tečnu ke kružnici k, tudíž nás hned napadne, že tečná přímka svírá s úsečkou /ST/ pravý úhel (/ST/ jspojuje střed S kružnice k a tečný bod T). Tudíž to navádí k Thaletově kružnici k2, která je definovaná středem S2= /BS/ (vzdálenost bodu B a středu S kružnice k) a poloměrem r=R2=½ BS = ½ Xs.
Tedy k2(S2;r=½ BS). A okamžitě z obrázku můžeme odvodit vzdálenost xt a yt hledaného bodu T.
Pozn.: sqrt = odmocnina; x^y = x na y
a). Thaletova kružnice
xt = BT . cos (α)
yt = R . cos (α) také BT . sin (α)
BT = √[Xs2 - R2] cos (α) = BT/Xs = √[Xs2-R2] / Xs
sin (α) = R /Xs
xt = BT . cos (α) = √[Xs2-R2] . √[s2-R2] / Xs = (Xs2-R2) /Xs
yt = R . cos (α) = R . √[Xs2-R2] /Xs
rovnice tečné přímky t:
t = x . tg (α) = x . sin (α)/cos (α) = x . [R/Xs] . ( Xs/ √[Xs2-R2] )
t = x . R/ √[Xs2 - R2]
Při odmocňování jsme brali pouze kladnou hodnotu - tj. našli jsme pouze tečný bod v kladné části osy y.
b). Rovnice přímky t a kružnice k(Xs; r=R)
pro srozumitelnost xs=M
t: y = a.x
k: (x - M)2 + y2 = R2
dosazení y do druhé rovnice:
x2 - 2.M.x + M2 + a2.x2 = R2
(1 + a2).x2 - (2.M)x + (M2 - R2) = 0
! řešení (právě 1 řešení) .. determinant roven 0 :
D=0 :
4M2 - 4 (a2 + 1)(M2 - R2) = 0
a = ± R . √ (1/[M2-R2])
t: y = ± (R /√[M2-R2]) . x
Takže známe přesnou podobu rovnice tečny, načli jsme koeficient rovnice tečny a. Pro zjištění tečných bodů známe tedy podobu rovnice tečny a rovnice kružnice, dáme to dohromady a uvidíme, co vznikne. t a k :
(x - M)2+ [R2 /(M2 - R2)].x2 = R2 (1 + R2 / [M2 - R2]).x2 + (-2M).x + (M2 - R2) = 0
kontrola D=0 ... právě 1 řešení :
D = 4M2 - 4 . (M2 - R2).(1 + R2 / [M2 - R2])= skutečně 0
Xt = 2M / ( 2 . [ 1 + R2/{M2 - R2} ] )
Xt = (M2 - R2) / M
Yt = ± R . √ [1 / (M2 - R2)] . (M2 - R2) / M
Yt = ± R . √ (M2 - R2) / M
Jak vidíme nebylo to nic těžkého a zkontrolovali jsme si správnost obou řešení. Je krásně vidět, jak je řešení dané úlohy jednoduché při znalosti geometrických vztahů.
Ave Braník
Přečteno:18818
Autor: David Mizera
