Těžiště tělesa - odvození vzorce

Včera jsem otcoj počítal ňáký spřažený profily... U a dřevěný trám na vaznici. Dostal jsem se do situace, kdy jsem si nebyl jist se vzorcem těžiště tělesa. Podíval jsem se tedy na net, ale řekl jsem si, že si pozici těžiště odvodím na papíře, ať můžu v klidu zapomenout úspěšně další vzorec.

Definice těžiště:

Těžiště (tělesa, soustavy,..) je bod, kterým prochází výslednice gravitačních sil působících na těleso, soustavu hmotných bodů, soustavu obrazců...

Případ pro dva předměty:

Máme dvě tělesa o hmotnostech m_A a m_B. Každě má tedy určitou tíhu, označme ji F_A a F_B. Postup určení těžiště u takového případu je vyloženě brnkačka, momentová výminka k námi určenému bodu, viz. obrázek.

Zvolme si bod na spojnici mezi těžišti obou těles (vzdálenosti v mezi těžišti), bod označíme T, jako námi hledané těžiště.

Rovnováha momentů k ose o, procházejícím bodem T, hledaná vzdálenost je r_A, viz obrázek:

M_A=M_B

F_A . r_A = F_B . r_B

F_A . r_A = F_B . (v - r_A)

r_A = v . F_B / (F_A + F_B)

Případ pro n předmětů:

n předmětů se řeší prakticky totožně, ovšem n jsem zobrazil třema předmětama, původně jsem kreslil n předmětů, ovšem se mi to kreslilo dost špatně, proto to zjednodušení.

Zvolíme si bod B, ležící na ose b, bod B zvolit nejlépe před prvním tělesem. Vzdálenost mezi těžištěm T a bodem O, tj. /OT/ označíme jako hledanou neznámou x. Vzdálenosti r_i jsou spojnice mezi těžištěm T a těžištěm jednotlivých těles.

Rovnováha momentů k ose o, procházejícím bodem T tedy vypadá takto:

M₁ + M₂ + M₃+..... + M_i = 0

F₁ . (x - x₁) + F₂ . (x - x₂) + F₃ . (x - x₃) + .... + F_i . (x - x_i) = 0

x . ( F₁ + F₂ + F₃ +... + F_i ) = F₁ . x₁ + F₂ . x₂+ F₃ . x₃ + ... + F_i . x_i

x = (F₁ . x₁ + F₂ . x₂+ F₃ . x₃ + ... + F_i . x_i ) / ( F₁ + F₂ + F₃ +... + F_i )

tedy:

x = ∑(F_i . x_{i) /} ∑F_i

Tak a máme těžiště soustavy sil, hmotných bodů ....

Pro stavařskou praxi celkem jednoduchý a praktický vzoreček. Ve stavařině se počítá povětšinou se stejným materiálem, tudíž se nemusí přepočítávat tíha jednotlivých těles (resp. obrazců), znalost plochy a těžiště obrazce.

Vše tedy bude vypadat následovně:

x = (A₁ . x₁ + A₂ . x₂+ A₃ . x₃ + ... + A_i . x_i ) / (A₁ + A₂ + A₃ +... + A_i )

tedy:

x = ∑(A_i . x_i) _/ ∑A_i

přičemž A_i . x_i je statický moment S_oi k ose o procházejícím těžištěm T a platí tedy:

S_oi = A_i . x_i

A = ∑A_i

S_o = ∑(A_i . x_i)

x = S_{o /} A

pro různorodá tělesa tedy:

x = S_{o /} F ; F = ∑F_i

či

x = S_{o /} m ; m = ∑m_i

kde F (resp. m) jsou jednotlivé tíhy (resp. hmotnosti) jednotlivých obrazců, hmotných bodů, ...

Dobrý stavař by neměl zapomenout na elegantnost zjištění těžiště pro těleso složené z různých materiálů, tedy variantu, kdy si vypočítá jednotlivé tíhové síly či hmotnosti a sestaví momentovou podmínku rovnováhy, ze které vypočte pozici těžiště.

Při hledání těžiště je dobré si všimnout symetrie tělesa. Na ose symetrie tělesa totiž leží těžiště a ušetříme si práci o hledání těžiště k dané ose symetrie. Přikladem je např. jehla, váza, cokoliv rotačního (rotační kulomet, rotační kačaba  ).

Při hledání těžiště v rovině si spočteme těžiště nejprve k ose jedné, poté k ose druhé a v prostoru postupujeme analogicky, těžiště hledáme ke třem osám.

Matematika má silný nástroj v integálech, křivkových integrálech, ovšem to přesahuje rámec dnešního jednoduchého odvození. (navíc bude muset martin ňák zvládnout zápis vzorců, pěkně zlomky, odmocniny,...)

Komentáře (0)